Combinação com Repetição

[fabriciodf]

Olá amigos do fórum concurseiros,

recentemente adquiri 2 livros de raciocínio lógico, mais nenhum deles aborda sobre Combinação com Repetição.. talvez por esta ser pouco cobrada em concursos..

Porém o MDS e o SEPLAG/Educação irão cobrar essa matéria, alguém poderia tentar explicar o conceito e como resolver isso? Ou como identificar um problema que se encaixe nessa matéria?

abraço a todos!

[[gibo]]

Re: Combinação com Repetição

vamos a um exemplo:

De quantas maneiras, uma oficina pode pintar cinco automóveis iguais, recebendo cada um, tinta de uma única cor, se a oficina dispõe apenas de três cores e não quer mistura-las?

Temos 5 carros e 3 cores de tinta. Sendo assim, necessariamente haverá cores que se repetirão ao pintar os carros.
Algumas possibilidades de pintar os carros:
carro1 ... carro 2 ... carro3 ... carro4 ... carro5
... cor1 ..... cor2 ..... cor3 ..... cor1 ..... cor2
... cor1 ..... cor2 ..... cor3 ..... cor1 ..... cor3
... cor1 ..... cor2 ..... cor3 ..... cor1 ..... cor1
... cor1 ..... cor2 ..... cor3 ..... cor1 ..... cor2
... cor1 ..... cor2 ..... cor3 ..... cor2 ..... cor1
...

Observe que ocorre a repetição de cores a ser aplicados nos carros.
Nesse exemplo, não importa a ordem de pintura dos carros, logo, trata-se de problema de combinação. Como ocorrerá repetição na aplicação de um dos elementos, trata-se combinação com repetição.

Para calcular o número de combinações basta aplicar a fórmula:

CR n,p = C n+p-1,p

CR: combinação com repetição
n: nº elementos que se repetem
p: classe (nº de elementos tomados)

Então, temos 3 tintas (n = 3) que serão aplicados (tomados) para 5 carros (p = 5), ou seja, temos 3 elementos que serão tomados de 5 em 5.

CR 3,5 = C 3+5-1,5 = C 7,5 = 7 * 6 / 2 = 21

portanto, serão 21 combinações possíveis

[[gibo]]

Re: Combinação com Repetição

Vamos tentar entender visualizando um problema mais simples:

Seja o conjunto {1, 2, 3}. Quantos são os subconjuntos possíveis contendo dois elementos?

Fazendo no "braço", montemos inicialmente as seguintes possibilidades:
{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2}, {3, 3}

Mas, observe que os subconjuntos {1, 2} e {2, 1} são iguais; assim como {1, 3} e {3, 1}; e {2, 3} e {3, 2}.

Logo, as combinações possíveis são:

{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 3}

totalizando 6 combinações

Aplicando a fórmula, temos 3 elementos que serão combinados de 2 em 2, sendo que nas combinações, os elementos podem repetir-se, como são os casos de {1, 1}, {2, 2}, {3, 3}.

CR 3,2 = C 3+2-1,2 = C4,2 = 4 * 3 / 2 = 6


Como exercício, resolva esta:

Quantos grupos de três elementos podem se formar com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}?
Resp.: 35

[[gibo]]

Re: Combinação com Repetição

Dominó

O jogo aparentemente surgiu na China e sua criação é atribuída a um santo soldado chinês chamado Hung Ming, que viveu de 243 a.C a 182 a.C. O conjunto tradicional de dominós, conhecido como sino-europeu, é formado por 28 peças, ou pedras. Cada face retangular de dominó é divida em duas partes quadradas, ou "pontas", que são marcadas por um número de pontos de 1 a 6, ou deixadas em branco. (fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Domin%C3%B3)


Visto o texto acima, vamos mostrar que o número de peças do jogo de dominó é 28.

Em cada uma das pontas de uma peça do dominós aparecem os pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou "em branco" (vazio). Assim, temos 2 posições numa peça de dominó na qual combinaremos 7 elementos e pode aparecer elementos repetidos numa mesma peça.

Sendo assim, a quantidade possível de peças de dominó que podemos formar é:

CR 7,2 = C 8,2 = 8 * 7 / 2 = 28

[[gibo]]

Re: Combinação com Repetição

mais um exemplo:

Qual é o número total de maneiras distintas de se distribuírem dez notas de R$ 10,00 entre três pessoas?

Primeiro, trata-se de combinação, já que não importa a ordem do resultado. Segundo, na distribuição, ocorrerá repetição da escolha de pessoa que receberá as notas.
Portanto, é uma questão de combinação com repetição.

Mas, pode aparecer a seguinte dúvida ou se confundir no momento do cálculo:
Será CR 3,10 ou CR 10,3 ?

A dica é verificar qual dos elementos irá repetir: no caso, quando da distribuição o que se repete é a escolha da pessoa que receberá cada uma das notas. Portanto, n = 3.

Assim, temos:

CR 3,10 = C 12,10 = 12 * 11 / 2 = 66

[fabriciodf]

Re: Combinação com Repetição

Muito obrigado pela atenção [gibo], esclareceu bastante minha dúvidas hehe..
Pensava que a matéria era mais complicada, mas parece ser tranquila

abraço!

[ChrisFernandes]

Re: Combinação com Repetição

Fabrício, vim com a mesma dúvida..."Gibo" sua explicação realmente foi muito boa. Obrigada.

[ChrisFernandes]

Re: Combinação com Repetição

Há...caiu uma questão no concurso do TRE-BA que quem sabia fazer a do dominó que foi postada aqui, acertava ela. E lógico que eu acertei
Obrigada por terem partilhado o aprendizado. : )